1.二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称为二叉排序树，它有以下的特点。
1.如果它的左子树不为空，则左子树上所以结点的值都小于等于根结点的值
2.如果它的右子树不为空，则右子树上所有结点都大于等于根结点的值
3.它的左右子树也分别为二叉搜索树
4.二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义
2.二叉搜索树的性能分析
最优情况下，二叉树搜索树为完全二叉树，其高度为O（log2 N）
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其高度为O（N/2）
所以综合来看二叉搜索树增删查改的时间复杂度为：O（N）
3.二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下：
1.树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2.树不为空，按二叉搜索树的性质，小的往左边插，大的往右边插。
3，如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。
4.二叉搜索树的查找
1.从根开始比较，查找X，X比根的值大则往右边走查找，X比根值小则往左边走查找。
2.最多查找高度次，走到空，还没找到，这个值不存在。
3.如果不支持插入相等的值，找到X即可返回
4.如果支持插入相等的值，就要返回最下方的X的值，如下图，要返回最下面的3：
5.二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素则可以分为以下四种情况：
1.要删除结点N左右孩子均为空
2.要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
3.要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
4.要删除的结点N左右孩子结点都不为空
对应以上四种情况的解决方案：
解决1：把N结点父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点
解决2：把N结点父亲对应孩子指针指向右孩子结点，直接删除N结点
解决3: 把N结点父亲对应孩子指针指向左孩子结点，直接删除N结点
解决4：这样的情况无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除，找N左子树的值最大结点R（最右结点）或者N右子树的值最小结点R（最左结点）替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R两个结点的值交换。最后可以根据解决1的方法删除N。
6.二叉搜索树的实现代码
template<class K>
struct BSTNode
{
K_key；
BSTNode<K>*_left;
BSTNode<K>*_right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
}；
//以下为二叉搜索树的视线
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node；
public:
bool insert(const K& key)
{
if(_root == nullptr)
{
_root = new Node(key)；
return true；
}
Node* parent = nullptr；
Node*cur = _root；
while(cur)
{
if（cur->_key>key）
{
parent = cur;cur = cur->left；
}
else if(cur->_key<key)
{
parent = cur；
cur = cur->right；
}
else
{
return false；}
}cur = new Node(key)
if(parent->_key<key)
{
parent->right = cur；
}
if(parent->_key>key)
{
parent->left = cur；
}
return true;
}
//以下为二叉搜索树的查找功能
bool Find(const K&key)
{
Node*cur = _root；
while(cur)
{
if(cur->_key <key){
cur = cur->right；
}
else if(cur->_key>key)
{
cur = cur->left；
}
else
{
return true；
}
return false；
}
//以下为二叉搜索树的删除功能
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;Node*cur = _root；
while(cur)
{
if(cur->_key < key){
parent = cur；cur = cur->right；
}
else if
{
parent = cur;
cur = cur->left；
}
else
{
if(cur->left = nullptr)
{
if(parent == nullptr)
{
_root = cur->right；
}
else
{
if（parent->left == cur)
{
parent->left = cur->right；
}
else
{
parent->right = cur->right；
}
}
delete cur；
return true;
else if(cur->right = nullptr)
{
if(parent == nullptr)
{
_root = cur->left；
}
else
{
if（parent->left == cur)
{
parent->left = cur->left；
}
else
{
parent->right = cur->left；
}
}
delete cur；
return true；
}
{
Node*minp = cur；
Node*min = cur->right；
while(min->left)
{
minp = min；
min = min->left；
}
cur->key = min->key；
if(minp->left == min)
minp->left = min->right；
else
minp->right = min->right；
delete min；
return true；
}
}
}
return false；
}
7.二叉搜索树key和key/value使用场景
7.1 key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，不支持修改的原因是修改key会破坏二叉树的结构。
key可以用来检查一篇英文文章单词拼写是否正确：将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
7.2 key/value搜索场景
每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以为任意类型对象。树的结构中除了需要存储key还要存储对应的value。key/value的搜索场景支持修改，但还是不支持修改key。
key/value可以统计一篇文章中单词出现的次数：读取一个单词，查找单词是否存在不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
7.3 key/value二叉搜索树代码的实现
template<class K,class V>
struct BSNode
{
K_key；V_value；
BSNode<K,V>*_left；
BSNode<K,V>*_right；
BSNode（const K&key,const V& value)
: _key(key)
,_value(value)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
}；
template<class K,class V>
class BSTree
{
typedef BSNode<K,N> Node;
public:
BSTree() = default；
BSTree(const BSTree<K, V>& t){_root = Copy(t._root);}BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t){swap(_root, t._root);return *this;}~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr;};
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